Try Out UN Matematika SMP

1) Dalam suatu kelas terdapat 47 siswa, 23 siswa menyenangi pelajaran Matematika, 18 siswa suka pelajaran Biologi dan 19 siswa suka pelajaran fisika.

Jika 8 siswa menyukai Matematika dan biologi, 7 siswa suka Fisika dan biologi, 5 siswa suka pelajaran fisika dan matematika, serta 3 siswa menyukai ketiga pelajaran tersebut.

Maka banyak siswa yang tidak menyukai ketiga pelajaran tersebut adalah ...

a. 10 siswa

b. 8 siswa

c. 6 siswa

d. 4 siswa

e. 2 siswa

2) Jika sebuah lingkaran dengan jari-jari 7 m. Maka sudut terbesar yang terbentuk jika panjang busurnya 11 adalah....

a. 90'

b. 150'

c. 180'

d. 270'

e. 300'

3) Jika P= 1/{3+{1/[3+(1/4)]}} maka nilai P adalah...

a. (13/43)

b. (31/43)

c. (23/32)

d. (34/13)

e. (32/23)

4) Dalam suatu turnamen bela diri ditentukan bahwa yang menang mendapat 7 poin, seri 5 poin dan kalah -3 poin. Jika Fulan mengikuti turnamen tersebut dan bertanding sebanyak 12 kali dengan perincian menang 4 kali dan kalah 5 kali,  Maka poin yang didapat Fulan adalah sebanyak...poin.

a.23

b.25

c.28

d.30

e.32

 5)  Diketahui persegi panjang dengan ukuran panjang 30 cm dan lebar 12 cm. Apabila panjang persegi panjang tersebut dikurangi 10% dan lebarnya ditambah 40%. Maka luas persegi panjang tersebut adalah...cm"

a. 324,8

b. 434,2

c. 453,6

d. 532,4

e. 327,6

6) Seorang pedagang membeli beras 2 karung, masing-masing beratnya 1 kuintal dengan tara 2,5 %. Harga pembelian beras setiap karung Rp 200.000,00. jika beras itu dijual dengan harga Rp 2.500,00 tiap kilogram, besar keuntungannya adalah ....

a. Rp 65.000,00

b. Rp 72.500,00

c. Rp 87.500,00

d. Rp 95.000,00

e. Rp 97.500,00

7) Harga 16 baju Rp 560.000,00. Harga 3 1/2 lusin baju tersebut adalah ...

a. Rp 1.240.000,00

b. Rp 1.280.000,00

c. Rp 1.350.000,00

d. Rp 1.430.000,00

e. Rp. 1.470.000,00

‎9) Harga 8 buku tulis dan 6 pensil Rp. 14.400,00. Harga 6 buku tulis dan 5 pensil Rp. 11.200,00. Maka harga 4 buku tulis dan 9 pensil adalah ....

a. Rp 13.600,00

b. Rp 12.800,00

c. Rp 12.000,00

d. Rp 11.400,00

e. Rp 11.000,00

10) Garis g sejajar dengan garis yang melalui (7,-4) dan (-3,2). Diantara persamaan garis di bawah ini

I. 3x - 5y + 20 = 0

II. x + 2y + 7 = 0

III. 2x - 3y - 11 = 0

IV. 3x + 5y - 10 = 0

yang merupakan persamaan garis g adalah ....

a. I

b. II

c. III

d. IV

e. tidak ada

11) Keliling sebuah segitiga sama kaki 36 cm. Jika panjang alasnya 10 cm, maka luas segitiga itu adalah ...

a. 360 cm^2

b. 180 cm^2

c. 120 cm^2

d. 60 cm^2

e. 30 cm^2

12)  Diketahui sistem persamaan linear (1/x)+(2/y)=11 dan (3/x)-(5/y)=11 maka nilai dari (x.y) adalah....

a.(1/11)

b.(1/12)

c.(1/13)

d.(1/14)

e.(1/15)

13) Diketahui bahwa sudut A=5x' dan sudut B=(12x-24)'. Jika keduanya saling berpelurus maka nilai x adalah...

a. 15

b. 10

c. 18

d. 8

e. 12

14)  Perhatikan pecahan berikut: 5/8, 7/13, 11/17, 12/19, urutan pecahan dari yang terkecil adalah..

a. 5/8, 7/13, 12/19, 11/17

b. 7/13, 12/19, 11/17, 5/8

c. 7/13, 5/8, 12/19, 11/17

d. 7/13, 12/19, 5/8 11/17

e. 11/7, 7/13, 12/19, 5/8

15) Nilai dari [9.x^(-3/4).V(y^5)]/[(y^2).((3.Vx)/x)^2]

untuk x=16 dan y=75 adalah....

a.10

b.10V2

c.10V3

d.5V2

e.5V3

16) Sebuah gedung direncanåkan selesai dalam 34 hari bila dikerjakan oleh 21 orang. setelah dikerjakan 12 hari, pekerjakan dihentikan 5 hari. Agar pembangunan itu selesai tepat pada waktu perencanaannya. Maka diperlukan tambahan pekerja sebanyak ........ orang

a. 20

b. 21

c. 22

d. 23

e. 24

17) Perbandingan umur Rizal dan dayat adalah 3 : 4 pada 3 tahun yang lalu. Hasil kali umur keduanya saat ini adalah 42. Maka jumlah umur keduanya saat ini adalah .... tahun.

a. 13

b. 14

c. 15

d. 20

e. 36

18) Kawat sepanjang 23 m akan dibuat kerangka balok yang berukuran 10 cm x 8 cm x 5 cm. Banyak kerangka balok yang dapat dibuat adalah ....

a. 15 buah

b. 18 buah

c. 20 buah

d. 25 buah

e. 28 buah

19) M adalah pusat lingkaran yang panjang jari-jarinya 8 cm dan N adalah pusat lingkaran yang panjang jari-jarinya 3 cm. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah ...

a. 11 cm

b. 12 cm

c. 13 cm

d. 14 cm

e. 15 cm

20) Suhu di dalam kulkas -3℃ . Pada saat mati lampu suhu di dalam kulkas naik 4℃ setiap 3 menit. Setelah lampu mati selama 12 menit, suhu di dalam kulkas adalah ....

a. 10℃

b. 11℃

c. 12℃

d. 13℃

e. 14℃

‎21) Rata-rata nilai 40 orang siswa adalah 7,2. Setelah nilai 5 siswa yang ikut ulangan susulan digabungkan, rata-rata nilainya menjadi 7,4 . Rata-rata nilai ke 5 siswa tersebut adalah ...

a. 7,4

b. 7,6

c. 7,8

d. 8,2

e. 8,4

22) Dalam suatu kelas, data hasil ulangan matematika sekelompok siswa sebagai berikut :

* 4 orang mendapat nilai 4

* 2 orang mendapat nilai 5

* 6 orang mendapat nilai 6

* 5 orang mendapat nilai 7

* 3 orang mendapat nilai 8

Banyak siswa yang mendapat nilai dibawah rata-rata kelas adalah ...

a. 4 orang

b. 6 orang

c. 8 orang

d. 12 orang

e, 14 orang

‎23) Diketahui pada sebuah diagram lingkaran, tentang data transportasi yang digunakan siswa ke sekolah :

* bus kota : (membentuk sudut siku")

* sepeda : 16 %

* angkot : 33 %

* becak : 6 %

* motor : x %

Jika jumlah seluruh siswa ada 300 orang. Banyaknya siswa yang menggunakan motor adalah ...

a. 40 orang

b. 45 orang

c. 50 orang

d. 55 orang

e. 60 orang

‎24) Diketahui himpunan-himpunan :

M = {xΙ 1 ≤ x ≤15, x∈bilangan prima}

N = {xΙ 1 ≤ x ≤15, x∈bilangan ganjil}

maka M∩N adalah ....

a. {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

b. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 15}

c. {2, 3, 5, 7, 11, 13}

d. {3, 5, 7, 9, 11, 13}

e. {3, 5, 7, 11, 13}

‎25) Jumlah dua bilangan cacah 30, sedangkan hasil kalinya 216. Selisih kedua bilangan itu adalah ....

a. 6

b. 8

c. 10

d. 12

e. 14

26) Harga pembelian sebuah roti Rp 7.000,00. Roti tersebut dijual dengan keuntungan 20%. Harga penjualan 50 roti adalah ...

a. Rp 370.000,00

b. Rp 420.000,00

c. Rp 480.000,00

d. Rp 540.000,00

e. Rp 560.000,00

27) Pada suatu gedung kesenian terdapat kursi yang disusun dengan jumlah kursi pada baris pertama 16 kursi, baris kedua 21 kursi, baris ketiga 26 kursi, dan seterusnya selalu berambah 5 kursi.

Jika dalam gedung itu terdapat 1900 kursi. Banyak baris kursi dalam gedung tersebut adalah ....

a. 20 baris

b. 22 baris

c. 25 baris

d. 32 baris

e. 35 baris

28) Selembar seng berbentuk persegi panjang berukuran 60 cm x 40 cm. Seng itu dibuat tutup kaleng berbentuk lingkaran dengan diameter 40 cm. Luas seng yang tidak digunakan adalah ...

a. 1128cm^2

b. 1144 cm^2

c. 1164 cm^2

d. 1172 cm^2

e. 1180 cm^2

29) Sebuah tempat air berbentuk tabung dengan panjang diameter alas 70 cm dan tinggi 1,5 m. Sebuah pompa air dapat mengisi tempat air itu dengan debit (kecepatan) 30 liter tiap menit. Waktu yang diperlukan pompa air untuk mengisi tempat air sampai penuh adalah ....

a. 18 menit 15 detik

b. 18 menit 25 detik

c. 18 menit 45 detik

d. 19 menit 15 detik

e. 19 menit 35 detik

30) himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

(2/3) ( x-1) < (1/4) (2x-4) , dengan x∈ bilangan bulat adalah ...

a. {xI x>2, x ∈bilangan bulat}

b. {xI x<2, x ∈bilangan bulat}

c. {xI x>-2, x ∈bilangan bulat}

d. {xI x<-2, x ∈bilangan bulat}

e. {xI x>3, x ∈bilangan bulat}

31) Diketahui prisma yg alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 6 cm, 8 cm dan 10 cm. Jika tingginya 15 cm, maka volumenya ....

a. 7200 cm^3

b. 720 cm^3

c. 360 cm^3

d. 180 cm^3 

e. 120 cm^3

32) Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 180 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang dari 6 adalah ....

a. 60

b. 90

c. 120

d. 150

e. 180

33) Jika panjang diagonal suatu persegi panjang adalah 25cm dan lebarnya adalah 7cm.Maka luas persegi panjang tersebut adalah....cm"

a. 175

b. 180

c. 164

d. 172

e. 168

34) Jika A = { semua faktor dari 12} , maka banyak himpunan bagian dari A adalah ....

a.16

b.32

c. 36

d. 48

e. 64

‎35) Pak Rahmat menyimpan uangnya di bank sebesar Rp 750.000,00 dengan bunga 18% pertahun. Besar uang Pak Rahmat setelah 8 bulan adalah ....

a. Rp 800.000,00

b. Rp 820.000,00

c. Rp 840.000,00

d. Rp 860.000,00

e. Rp 880.000,00

36) Segitiga ABC siku-siku di A kongruen dengan segitiga PQR yang siku-siku di R. Jika panjang BC = 10 cm dan QR = 8 cm. Pernyataan berikut yang benar adalah ....

a. <C = <P dan AC = PQ

b. <B = <Q dan BC = PR

c. <A = <R dan AB = PQ

d. <A = <R dan BC = PQ

e. <C = <P dan BC = QR

37) Sebuah foto berukuran 32 cm x 40 cm dipasang pada sebuah bingkai. Lebar bingkai bagian kiri dan kanan 4 cm. Jika foto dan bingkai sebangun, sedangkan lebar bingkai bagian atas dan bawah sama maka lebar bingkai bagian bawah adalah ....

a. 4 cm

b. 5 cm

c. 6 cm

d. 7 cm

e. 8 cm

38) Jarak dua kota pada peta adalah 30 cm. Jika skala peta 1 : 600.000, jarak dua kota sebenarnya adalah ....

a.18 km

b. 20 km

c. 180 km

d. 200 km

e. 1.800 km

39) Rumus suku ke-n barisan bilangan adalah Un = 2n(n-1). Hasil dari U10 - U6 + U3 adalah ...

a. 132

b. 182

c. 292

d. 232

e. 252

‎40) Gradien garis yang melalui titik (6,-8) dan (-4,2) adalah ...

a. - 1/2

b. -1

c. 1/2

d. 1

e. 2

Matematika Diskrit (Teori Bilangan)

Pengertian

• Teori bilangan (number theory) adalah teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi.
• Bilangan yang dimaksudkan adalah bilangan bulat (integer).

Bilangan Bulat

• Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0
• Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

• Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a 0. Kita menyatakan bahwaa habismembagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
• Notasi: a | b jika b = ac, c £ Z dan a 0. (Z = himpunan bilangan bulat)
• Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga  “b kelipatan a”.

Teorema 1 (Teorema Euclidean).

 Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r   …………………….. (1)

dengan 0 r < n.

Pembagi Bersama Terbesar (PBB)

Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.

Algoritma Euclidean

• Algoritma Euclidean adalah algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat.
• Euclid, penemu algoritma Euclidean, adalah seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.
• Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m ³ n). Algoritma Euclidean berikut mencari  pembagi bersama terbesar dari m dan n.

Relatif Prima

Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1.

Aritmetika Modulo

• Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “amodulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
• Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m.
• Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}.

Kongruen

• Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka kita katakan 38 º 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5).
• Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a º b (mod m) jika mhabis membagi a – b.
• Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a º/ b (mod m) .

Teorema 2.

 Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

1. Jika a kongruen b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka

(i)  (a + c) kongruen (b + c) (mod m)

(ii) ac kongruen bc (mod m)

(iii) ap kongruen bp (mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p.

2. Jika a kongruen b (mod m) dan c kongruen d (mod m), maka

(i)  (a + c) kongruen (b + d) (mod m)

(ii) ac kongruen bd (mod m)

Balikan Modulo (modulo invers)

Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat  (a invers) sedemikian sehingga a (a invers) kongruen 1 (mod m).

Kekongruenan Lanjar

• Kekongruenan lanjar adalah kongruen yang berbentuk ax º b (mod m) dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat,  dan x adalah peubah bilangan bulat.
• Nilai-nilai x dicari sebagai berikut: ax = b + km yang dapat disusun menjadi x = (b+km)/adengan k adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat.

TEOREMA (Chinese Remainder Theorem)

 Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(mi, mj) = 1 untuk i j. Maka sistem kongruen lanjar x kongruen ak (mod mk) mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1 × m2 × … × mn.

Aritmetika Modulo dan Kriptografi

Aritmetika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan:

1. Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus m– 1), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.
2. Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat pembulatan (round off) sebagaimana pada operasi bilangan riil.

Bilangan Prima

• Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.
• Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.
• Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.
• Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

Teorema 3. (The Fundamental Theorem of Arithmetic).

 Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Teorema 4 (Teorema Fermat).

Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat  yang tidak habis dibagi dengan p,  yaitu PBB(a, p) = 1, maka ap–1 kongruen 1 (mod p)

Fungsi Euler f

Fungsi Euler f medefinisikan f(n) untuk n >= 1 yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < n yang relatif prima dengan n.

Teorema 5.

Jika n = pq adalah bilangan komposit dengan p dan q prima, maka f(n) = f(p) f(q) = (p – 1)(q – 1).

Teorema 6.

Jika p bilangan prima dan k > 0, maka f(pk) = pk – pk-1 = pk-1(p – 1) .